¿Qué es la aritmética? - Conoce el campo de estudio de la aritmética

Qué es la aritmética

La aritmética es una de las ramas más antiguas de las matemáticas. Se originó en Mesopotamia por los babilonios y sumerios quienes crearon el sistema numérico sexagesimal. Esta disciplina se utiliza para calcular ángulos y tiempo. Además, es conocida como una ciencia que algunos evitan mientras que otros disfrutan. Por lo tanto, es crucial comprender lo que la aritmética nos ofrece y los temas que aborda, tal como se verá a continuación.

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Índice()
  1. Definición y concepto de aritmética como ciencia
  2. ¿Qué tipo de operaciones matemáticas aplica la aritmética?
    1. Operaciones matemáticas directas
    2. Suma
    3. Multiplicación
    4. Potenciación
    5. Operaciones matemáticas indirectas
    6. Resta
    7. División
    8. Radicación
    9. Logaritmación
  3. ¿Dónde se usa la aritmética?

Definición y concepto de aritmética como ciencia

La aritmética se enfoca en la enseñanza de números y operaciones básicas como adición, multiplicación, sustracción y división. A través de ella, podemos resolver ecuaciones, realizar cálculos, contar, comparar, medir y clasificar cantidades u objetos. Además, la aritmética se relaciona estrechamente con otras disciplinas como la geometría, las matemáticas y el álgebra, las cuales contribuyen a su desarrollo.

¿Qué tipo de operaciones matemáticas aplica la aritmética?

Existen siete operaciones aritméticas fundamentales que son comúnmente utilizadas:

  • Suma o adición.
  • Resta o sustracción.
  • Multiplicación.
  • División.
  • Potenciación.
  • Logaritmación.
  • Radicación.

Es importante mencionar que estas operaciones se emplean para realizar cálculos matemáticos. Existen otras operaciones aritméticas, sin embargo, estas siete son las más importantes y utilizadas en el ámbito matemático y científico.

La expresión 'aritmética' se utiliza para hacer referencia a las operaciones matemáticas que involucran entidades que no son necesariamente números enteros, incluyendo decimales, números reales y racionales, entre otros. El término 'aritmética' también se utiliza como adjetivo para formar una progresión aritmética. En el ámbito de la potenciación, la expresión (a/n) se refiere a la base 'a' elevada al exponente 'n'.

En la evolución de las matemáticas surgieron nuevos símbolos y elementos que permiten simplificar los cálculos. Por ejemplo, las raíces cuadradas y cúbicas ayudan a reducir números complejos para realizar operaciones aritméticas. Las fracciones también son un tipo de operación aritmética que se basa en los símbolos principales de la aritmética.

Operaciones matemáticas directas

Las operaciones matemáticas directas son aquellas en las que se puede obtener el resultado de manera inmediata. Entre ellas se encuentran:

  • La suma: se refiere a la adición de dos o más números, por ejemplo, 32 + 41 = 73.
  • La potenciación: consiste en multiplicar un número por sí mismo, un número determinado de veces. Por ejemplo, 6 elevado al cuadrado (6^2), es igual a 6 x 6 = 36.
  • La multiplicación: se refiere al proceso de encontrar el producto entre dos o más números. Por ejemplo, 2 x 8 = 16.

Suma

La suma, también conocida como adición, consiste en la operación matemática que se realiza al sumar un número A con otro número B. Con ella logramos obtener como resultado una cifra C. Por ejemplo, si sumamos 5 más 2, el resultado es 7 (5 + 2 = 7).

La adición se representa con el símbolo de más (+). Este se coloca entre los números que se están sumando. Cada uno de los elementos de la suma se conoce como sumando. Mientras que el resultado final se conoce como total o suma.

La operación de suma se utiliza para obtener el resultado de una cantidad obtenida a partir de la adición de uno o más números. Esta operación se aplica en distintos tipos de números, como decimales, enteros, naturales, fracciones, entre otros.

La adición posee tres propiedades fundamentales que rigen su funcionamiento, estas son:

Multiplicación

La multiplicación es una operación aritmética que consiste en sumar un número tantas veces como indica otro número. Por ejemplo, 3 multiplicado por 4 se puede expresar como 3+3+3+3, lo que da como resultado 12.

En la multiplicación, el primer número se llama multiplicando, el segundo número se llama multiplicador y el resultado se llama producto. La multiplicación se representa con el signo de 'x' o con un punto '.'. Por ejemplo, 3 x 4 o 3.4 significan lo mismo y ambos dan como resultado 12.

La multiplicación tiene varias propiedades que son importantes para su manipulación y resolución de problemas. Estas propiedades permiten simplificar y agilizar la resolución de operaciones de multiplicación. Existen cuatro propiedades importantes de la multiplicación:

  • Propiedad conmutativa: Esta propiedad establece que el orden de los factores no altera el producto. Es decir, el resultado de multiplicar dos números es el mismo independientemente del orden en que se multipliquen. Por ejemplo, 2 x 3 es igual a 3 x 2.
  • Propiedad asociativa: Esta propiedad establece que el resultado de multiplicar tres o más números es el mismo independientemente de cómo se agrupen los factores. Por ejemplo, (2 x 3) x 4 es igual a 2 x (3 x 4).
  • Propiedad distributiva: Esta propiedad establece que la multiplicación se puede distribuir sobre la suma o la resta de dos o más números. Es decir, a x (b + c) es igual a (a x b) + (a x c). De la misma forma, a x (b - c) es igual a (a x b) - (a x c).
  • Propiedad de la identidad: Esta propiedad establece que el producto de cualquier número por 1 es igual al mismo número. Es decir, a x 1 es igual a a.

Potenciación

La potencia se puede representar de manera más corta utilizando el símbolo de elevado (^), por ejemplo, 4^7 representa la potencia de 4 elevado a la séptima potencia. La potenciación se compone de tres partes fundamentales:

  • Base: es el número que se va a multiplicar por sí mismo. Es el número que se coloca en la parte inferior izquierda de la expresión, y puede ser cualquier número real o complejo.
  • Exponente: es la cantidad de veces que la base se multiplicará por sí misma. Es el número que se coloca en la parte superior derecha de la expresión y debe ser un número entero positivo.
  • Potencia: es el resultado de la operación de la potenciación. Es el número que se obtiene al multiplicar la base por sí misma la cantidad de veces que indica el exponente. La potencia se coloca en la parte derecha de la expresión y puede ser cualquier número real o complejo.

La notación matemática para la potenciación es a^n, donde 'a' es la base y 'n' es el exponente. Por ejemplo, en la expresión 2^3, '2' es la base y '3' es el exponente, y el resultado de la potenciación es 8, que es la potencia.

Las potencias se pueden utilizar para simplificar operaciones matemáticas complejas, especialmente cuando se utilizan potencias con exponentes fraccionarios o negativos. En estos casos, se utilizan reglas especiales de potenciación para encontrar el resultado.

Operaciones matemáticas indirectas

Las operaciones indirectas se diferencian de las operaciones directas según la función que desempeñan. Entre ellas se encuentran:

  • Resta o sustracción: consiste en disminuir a un número la cantidad asignada. Por ejemplo, 50 - 25 = 25.
  • Radicación: se utiliza para encontrar la raíz cuadrada de un número. Por ejemplo, si conocemos la potencia 25 y el factor 5 x a = 25, podemos obtener la solución mediante la raíz cuadrada de 25: √25 = 5.
  • División: implica la separación de un número en partes iguales, o el reparto de una cantidad entre un determinado número de partes. Por ejemplo, si tenemos el dividendo 54 y el divisor 9, podemos obtener el cociente de la siguiente manera: 54 ÷ 9 = 6.

Resta

La resta es una de las cuatro operaciones básicas en aritmética. Consiste en restar un valor de otro, o restar ciertos elementos de un conjunto. Cuando se resta un valor B de un valor A, se obtiene un resultado C, es decir, A - B = C. Por ejemplo, 10 - 4 = 6.

El símbolo para representar la resta es el guion (-), el cual se coloca entre los números que se van a restar. Los elementos de una resta son el minuendo

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(la cifra de donde se restan los elementos), el sustraendo (la cifra que se resta) y la diferencia (el resultado de la resta).

La resta se puede aplicar a números naturales, reales, decimales, fracciones y complejos. Cuando se trabaja con números naturales, el resultado de la resta es menor que el minuendo. Por ejemplo, 9 - 2 = 7, 45 - 11 = 34, 85 - 5 = 80. Cuando el sustraendo es mayor que el minuendo, el resultado de la resta es un número negativo. Por ejemplo, 3 - 9 = -6, 15 - 32 = -17, 8 - 45 = -37.

Existen propiedades de la resta, como la propiedad del elemento neutro, que se aplica cuando se resta cero a otro número, y el resultado es el mismo número. Por ejemplo, 5 - 0 = 5. También está la propiedad de verificación, que se aplica cuando se suma la diferencia obtenida al sustraendo, y el resultado es el minuendo. Por ejemplo, 5 - 1 = 4 (y 4 + 1 = 5).

Para calcular una resta, se colocan los números uno debajo del otro, alineando las unidades, decenas, centenas, etc. Luego se resta empezando por la derecha y de arriba hacia abajo.

División

La división es una operación aritmética que consiste en dividir un número llamado dividendo por otro número llamado divisor, para obtener un resultado llamado cociente. La división se representa con el signo de división '÷' o con una línea horizontal que separa el dividendo del divisor.

Por ejemplo, si queremos dividir 10 entre 2, el 10 sería el dividendo y el 2 sería el divisor. El proceso de división nos daría un resultado de 5, que sería el cociente. La operación se representaría de la siguiente manera:

  • 10 ÷ 2 = 5

El resultado de la división puede ser exacto o inexacto. Una división es exacta cuando no queda ningún resto después de realizar la operación. Por ejemplo, si dividimos 10 entre 5, obtenemos un resultado exacto de 2.

  • 10 ÷ 5 = 2

Sin embargo, si dividimos 10 entre 3, obtenemos un resultado inexacto, ya que queda un resto de 1.

  • 10 ÷ 3 = 3 resto 1

Además de la división entera, también existe la división decimal, donde se utilizan cifras decimales tanto en el dividendo como en el divisor. En este tipo de división, el proceso es similar al de la división entera, pero se debe prestar atención a la posición de los puntos decimales.

La división por partes consiste en separar el dividendo en partes más pequeñas para facilitar la operación. Para ello, se utiliza la distributiva, es decir, se multiplica el divisor por cada una de las partes en las que se ha dividido el dividendo y se suman los resultados. Por ejemplo, si queremos dividir 864 entre 12, podemos hacerlo por partes de la siguiente manera:

  • 864 = 600 + 200 + 60 + 4

Entonces, la operación queda así:

  • 864 ÷ 12 = (600 ÷ 12) + (200 ÷ 12) + (60 ÷ 12) + (4 ÷ 12) = 50 + 16 + 5 + 0,33 = 71,33

Por lo tanto, 864 dividido entre 12 es igual a 71,33.

La División larga es un método más complejo que se utiliza para hacer divisiones grandes, especialmente cuando el divisor es un número de dos o más cifras. Este método consiste en ir dividiendo el dividendo por el divisor de manera gradual, utilizando los restos y llevando las cifras de la izquierda hacia abajo.

Radicación

La radicación es una operación matemática inversa a la potenciación. Es decir, si tenemos un número elevado a una potencia, la radicación nos permite encontrar el valor de la base. Por ejemplo, si tenemos 4 elevado al cuadrado, es decir, 4^2, la radicación nos permite encontrar que la base es 4, ya que la raíz cuadrada de 16 es 4.

La operación de radicación se representa con el símbolo de la raíz cuadrada (√). Por ejemplo, la raíz cuadrada de 16 se escribe como √16. En general, si tenemos un número a elevado a una potencia n, la raíz n-ésima de ese número es el número que, elevado a la potencia n, da como resultado el número a. Se representa de la siguiente manera:

  • √n a = b

Donde a es el radicando (el número al que se le va a sacar la raíz), n es el índice de la raíz y b es la raíz n-ésima de a. Por ejemplo, la raíz cuadrada de 16 es √2 16 = 4, ya que 4 elevado al cuadrado es igual a 16. La radicación también se puede expresar en forma de fracción, como la siguiente:

  • √n a = a^(1/n)

Por ejemplo, la raíz cúbica de 27 se puede escribir como 27^(1/3), lo que nos da como resultado 3, ya que 3 elevado a la tercera potencia es igual a 27. Es importante tener en cuenta que la radicación tiene ciertas propiedades, como la multiplicación y la división de raíces, que nos permiten simplificar operaciones con raíces. Por ejemplo, la multiplicación de dos raíces del mismo índice es igual a la raíz del producto de los radicandos. Por lo tanto:

  • √n a * √n b = √n (a * b). Por ejemplo, √3 4 * √3 5 = √3 (4 * 5) = √3 20.

La división de dos raíces del mismo índice también se puede simplificar. En este caso, se divide el radicando del primer término entre el radicando del segundo término y se saca la raíz del resultado:

  • √n a / √n b = √n (a / b). Por ejemplo, √2 16 / √2 4 = √2 (16 / 4) = √2 4.

Logaritmación

La logaritmación es una operación matemática que consiste en calcular el exponente al que se debe elevar una base determinada para obtener un número determinado. Se puede definir formalmente como la operación inversa de la exponenciación.

Por ejemplo, si queremos encontrar el valor de x en la ecuación 2^x = 8, podemos usar la logaritmación para obtener la respuesta. El logaritmo de 8 en base 2 es 3, por lo que x = 3. El logaritmo se representa matemáticamente como 'log' seguido de la base entre paréntesis y el argumento o número del cual se quiere encontrar el logaritmo. Por ejemplo:

  • log(base 2) 8 = 3
  • log(base 10) 1000 = 3
  • log(base e) 20 = 2.9957...

En la mayoría de los cálculos matemáticos, se utiliza el logaritmo en base 10 o el logaritmo natural en base e. Estos dos tipos de logaritmos se escriben como 'log' y 'ln', respectivamente. Algunas propiedades importantes de los logaritmos son:

  • log(a * b) = log(a) + log(b)
  • log(a / b) = log(a) - log(b)
  • log(a^b) = b * log(a)

Estas propiedades pueden ser muy útiles en la simplificación de expresiones que contienen logaritmos. Por ejemplo, si queremos simplificar la expresión log(base 2) (8 * 16), podemos utilizar la primera propiedad para separar los dos factores:

  • log(base 2) (8 * 16) = log(base 2) 8 + log(base 2) 16 = 3 + 4 = 7

La logaritmación es una herramienta importante en muchas áreas de las matemáticas, la física, la ingeniería, entre otras. Por ejemplo, se puede utilizar la logaritmación para calcular la tasa de crecimiento de una población, la cantidad de tiempo que tarda un material radiactivo en descomponerse a la mitad, o el cálculo de la intensidad de un terremoto.

¿Dónde se usa la aritmética?

La aritmética es una rama fundamental de las matemáticas y se utiliza en una gran cantidad de situaciones cotidianas y profesionales. Algunos ejemplos de aplicaciones de la aritmética incluyen:

  • Operaciones financieras: se usa en el mundo financiero para calcular intereses, tasas de cambio, inversiones y otros aspectos relacionados con el dinero.
  • Medidas y unidades: se utiliza para realizar conversiones de unidades, como metros a pies o kilogramos a libras, y también se utiliza para calcular áreas, volúmenes y otras medidas.
  • Estadísticas: se emplea en estadísticas la media aritmética para calcular medias, desviaciones estándar y otros indicadores que se utilizan para analizar conjuntos de datos, como el promedio.
  • Programación y computación: es fundamental para la programación y la computación, ya que los ordenadores utilizan operaciones aritméticas para realizar cálculos complejos.
  • Diseño y construcción: se utiliza en el diseño y construcción de estructuras, edificios y objetos físicos, ya que es necesaria para calcular medidas, ángulos y otros aspectos relacionados con la geometría.
Cómo citar:
"¿Qué es la aritmética? - Conoce el campo de estudio de la aritmética". En Quees.com. Disponible en: https://quees.com/aritmetica/. Consultado: 13-07-2024 12:16:55
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