¿Qué es la ecuación de la recta en el espacio? - Tipos y propiedades principales

Qué es la ecuación de la recta en el espacio

En el momento en que inicias tu aprendizaje en el mundo del álgebra lineal, hay un sinfín de cosas básicas que tienes que aprender. Sucede que la base de las matemáticas, juegan un papel fundamental al momento de trabajar con funciones, ecuaciones y graficarlas en un plano cartesiano. De hecho, todas las funciones matemáticas cuentan con una gráfica que la representa.

Es así como la ecuación de la recta cuenta con una gráfica y ciertos elementos que la hacen única, siempre y cuando la comparemos con otras funciones. De cualquier modo, hoy conocerás los aspectos más básicos y fundamentales sobre la ecuación de la recta, así como los tipos que existen y la forma de cómo encontrarla en el espacio.

Índice()
  1. Definición de la ecuación de la recta en el espacio
  2. ¿Para qué sirve la ecuación de la recta?
  3. ¿Cuáles son los tipos de ecuaciones de la recta en el espacio?
    1. Ecuación vectorial de la recta
    2. Ecuación paramétrica de la recta
    3. Ecuación continua de la recta
    4. Ecuación implícita de la recta
  4. ¿Cómo se encuentra la ecuación de la recta en el espacio?

Definición de la ecuación de la recta en el espacio

Se trata de algo el cual está compuesto por dos palabras: ecuación y recta. Por una parte, entendemos como ecuación aquellas expresiones matemáticas en donde existen términos semejantes, números variables dependientes e independientes y una variable el cual tiene un valor desconocido. Al ser una ecuación, es de suponer que hay algo que calcular, y esto se puede lograr mediante cálculo o por análisis gráfico.

Es gracias a este último punto en el que entra en juego el otro término: la recta. Se trata de una expresión que hace referencia a la parte gráfica de una ecuación. Como su propio nombre lo indica, esta representa la parte gráfica de aquellas ecuaciones de primer grado. Es decir, toda ecuación o polinomio que sea de grado uno o en la que sus variables están en su forma más simple, son representadas por una recta. Esta puede ser de origen vertical, horizontal o diagonal. Por ende, se hace uso de un plano cartesiano de dos dimensiones para poderla graficarlas en el espacio.

Ahora bien, para ser más preciso en cuanto al que es la ecuación de la recta, considera los siguientes puntos clave:

  • La ecuación cuenta con exponente uno en su variable independiente.
  • Es posible graficar la ecuación de la recta siempre y cuando se conozcan los puntos A y B, o, dicho de otro modo, los pares ordenados (X,Y).
  • Existe una ecuación de la recta el cual permite identificar la misma y graficarla.
  • Su forma puede ser vertical, horizontal o diagonal.
  • Hay una ecuación de la recta, el cual permite trabajar con la pendiente de la misma.

¿Para qué sirve la ecuación de la recta?

Todas las funciones matemáticas y toda función continua y real cuentan con una gráfica distinta. En el caso de la recta, es la forma más sencilla que tiene una ecuación. Esta se utiliza siempre que haya la necesidad de conectar dos o más puntos en el espacio. En su expresión más sencilla, la ecuación de la recta es utilizada, bien sea:

  1. Para representar dos pares ordenados.
  2. Para graficar números constantes.
  3. Conocer y/o encontrar la pendiente de una recta.
  4. Encerrar o limitar el área de una figura trigonométrica.

A partir de aquí, por qué se expande en gran medida, puesto que cualquiera de los casos anteriores puede ser la base para diversos estudios. Por ejemplo, si lo que quieres es graficar pares ordenados, esto puede ser de mucha utilidad para quienes no conocen la forma gráfica de una curva y necesitan ir graficando punto a punto hasta formar una recta numérica que sea visible. En cuanto a las constantes, estas se suelen emplear cuando se necesita limitar el área de una curva o figura geométrica.

Siendo más específicos en este punto mencionado, resulta muy útil para marcar límites entre dos magnitudes en el espacio. Por ejemplo, ya sea que quieras estudiar el área de una figura hasta cierto punto o quieras aplicar fundamentos matemáticos más complejos como integrales definidas o el cálculo de límites. En cuanto al tercer punto, esto resulta sumamente útil para cuando se está trabajando con triángulos rectángulos y figuras geométricas con pendientes.

Así que, como verás, los usos son bastante amplios y no solo se limita a dibujar dos pares ordenados en el espacio de una función continua. Del resto, puede ser aplicado para magnitudes y vectores por igual. De cualquier modo, es importante que no solo conozcas la definición de ecuación de la recta, sino también la definición de otros términos que son importantes, así como sus funciones matemáticas.

¿Cuáles son los tipos de ecuaciones de la recta en el espacio?

Llegados a este punto, nos encontramos con que no solo hay un único tipo de recta o ecuaciones lineales, sino que existen varios. Cada uno con funciones o aplicaciones distintas según las variables y el campo matemático, esto lo vamos a explicar de la manera más sencilla posible a continuación.

Ecuación vectorial de la recta

Este tipo de ecuación se suele emplear para el cálculo de una recta en el plano cartesiano. Esto se logra mediante dos puntos reales, o bien un punto y un vector director. Este último elemento se caracteriza por poseer la misma dirección que tiene la recta. Es decir, que, si la recta va creciendo hacia el eje de las X positivas, entonces su vector director apuntará hacia esa dirección. Ejemplo, imaginemos que tienes dos puntos: A y B y te mandan a calcular el vector que va de B hasta A. Pues bien, la ecuación vectorial de la recta la identificarás gracias a que el cálculo de BA posee una flecha encima de esta variable.

En cuanto al cálculo, la misma se consigue conociendo los pares ordenados. Una vez que hayas identificado los términos o elementos dentro de los dos pares, procedes a sumar o restar las X con las X y la Y con las Y.

Ecuación paramétrica de la recta

Aquí el asunto se complica un poco más, puesto que hay varios aspectos a considerar. Pero lo que te interesa saber sobre este tipo de ecuación es que tendrás que desglosar los pares ordenados en dos ecuaciones. Es decir, que tendrás una ecuación para X y una para Y. Esto lo consigues teniendo en cuenta el par ordenado que se te proporciona en el ejercicio de matemática y el vector director. Por ejemplo, imagina que tienes el vector V = (4 , -6) y el punto P = (2 , 3). La ecuación paramétrica resultante de esto se escribiría de la siguiente manera:

  • X = 2 + 4T
  • Y = 3 – 6T

Ecuación continua de la recta

Se trata de un tipo de ecuación el cual se desprende o tiene su origen gracias a las ecuaciones paramétricas. Es decir, que, por medio de un despeje de variables, podemos obtener una ecuación continua de la recta que estemos trabajando en ese momento. Tomando como ejemplo las dos ecuaciones que te mostramos hace un momento, lo que se hace es despejar la variable T y luego hacer la igualación de ambas ecuaciones. A partir de aquí lo que queda es efectuar las operaciones matemáticas correspondientes.

Ecuación implícita de la recta

Podemos decir que la gran mayoría de las ecuaciones que hemos mencionado hasta el momento parten de esta en particular. A la ecuación implícita también se le conoce como ecuación general de la recta y su forma es la siguiente: Ax + Bx + C = 0. Los elementos que puedes ver aquí son 4 en total, los cuales son:

  • Los elementos A, B y C son números constantes.
  • La x representa la variable de la ecuación.
  • El término C se le atribuye al término independiente de toda ecuación de la recta.
  • El cero es la igualdad a la que tiene que estar la ecuación en su expresión más simple.

Ahora bien, es importante que tengas en cuenta que a partir de la ecuación general de la recta es posible obtener todas las coordenadas de un plano cartesiano de dos dimensiones. El secreto o la clave está en tener que encontrar el valor de X. Luego de esto, lo que resta es trasladar ese valor hacia la expresión matemática y obtener el valor de Y. Es decir, que la variable Y es dependiente del valor de X.

¿Cómo se encuentra la ecuación de la recta en el espacio?

Lo primero a considerar ante cualquier cálculo, es que se tienen que cumplir ciertas condiciones para poder trabajar y hallar la ecuación de la recta. Entre estos puntos claves se encuentran:

  • Es importante que los términos de A y B sean diferentes a cero.
  • Tiene que existir una pendiente real.
  • Puede existir uno o dos puntos en el plano o espacio para poder realizar el cálculo.
  • Es necesario que la ecuación a trabajar se adapte a la forma estándar o general.

Una vez que se tenga todo esto en cuenta, es que puedes proceder con el cálculo correspondiente. Ahora bien, el procedimiento va a depender del origen de la ecuación y de lo que te manden a calcular. Por ejemplo, el procedimiento empleado para hallar el valor de Y en función de X puede que sea un simple despeje y aplicar álgebra básica.

Sin embargo, no siempre es el caso, puesto que hay ecuaciones de la recta que pasan por dos puntos equis distantes. Todo esto sin ignorar el hecho de que puede o no haber una pendiente de por medio, de ser así, se tiene que considerar la ecuación de la pendiente que pasa por dos puntos, algo que es algo distinto a aquella recta que solo pasa por un único punto. Para que te hagas una idea de lo distinto que puede ser este procedimiento, así es como se ve la ecuación de la recta de forma trigonométrica: xcos(w) + ysen(w) = 0. Es una forma distinta de escribir la misma ecuación, pero en función de parámetros distintos.

Cómo citar:
"¿Qué es la ecuación de la recta en el espacio? - Tipos y propiedades principales". En Quees.com. Disponible en: https://quees.com/ecuacion-recta/. Consultado: 23-04-2024 04:18:37
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