¿Qué es el máximo común divisor? - Propiedades y calculo del MCD

Qué es el máximo común divisor

Cuando hablamos de matemáticas a pocos les gusta y la razón es que a veces se nos complica entender a la perfección sus conceptos. Sin embargo, esta ciencia, digamos que es la mamá de todas las demás y posee una importante función a la hora de afinar nuestro cerebro. Nos ayuda en el razonamiento lógico, y aunque no lo creas, es fundamental para organizar el caos en nuestra mente.

En este artículo te traemos uno de los temas más básicos de las matemáticas, el máximo común divisor. Sigue leyendo y conoce más sobre el dato que puede dividir a dos o más.

Índice()
  1. Definición y concepto del máximo común divisor
  2. ¿Cuáles son los usos del máximo común divisor?
  3. ¿Cuáles son las propiedades que debe cumplir un máximo común divisor?
  4. ¿Cómo se calcula el máximo común divisor?
    1. Máximo común divisor de dos números
    2. Máximo común divisor de polinomios
    3. MCM de una fracción
  5. Ejemplos del máximo común divisor en matemáticas

Definición y concepto del máximo común divisor

De forma simple, la definición del máximo común divisor (MCD) es la de ese dígito o cifra mayor, que permite seccionar a varios números. El divisor vendría siendo aquella cantidad que al dividir a otro da un residuo de cero. Para que entendamos mejor, veamos un ejemplo: 15÷3 da un restante de 0 al hacer la división.

Lo que nos da la referencia que el máximo común divisor (MCD) es el dígito que da como resto cero al dividir distintos números en conjunto. Esto hace que se convierta en el máximo factor común, viene de la cualidad de poder ser el divisor de un grupo que contiene varios números.

¿Cuáles son los usos del máximo común divisor?

El máximo común divisor se usa de forma habitual para encontrar denominadores comunes. Los denominadores son aquellos números en las fracciones que indican en cuántas porciones se divide la unidad. Para identificarlo nos fijamos en la parte inferior de la fracción. Pero ya, al hablar de los denominadores comunes se hace referencia al número que se encuentra en esa posición y será igual para todas las fracciones del ejercicio matemático.

¿Cuáles son las propiedades que debe cumplir un máximo común divisor?

Entre las propiedades del MCD podemos destacar las siguientes:

  • Si dividimos o multiplicamos dos números por una tercera cifra, su máximo común divisor también se dividirá por este tercer dígito.  Por ejemplo, tenemos a 15 y a 20. El MCD de ambos es 5. Ahora bien, si multiplicamos esto por 3 incluyendo el MCD, obtenemos lo siguiente: 15×3= 45, 20×3= 60 y su MCD 3×5=15.
  • Al dividir dos cifras por su MCD, el resultado de las divisiones será en números primos. Un número primo es aquel que puede ser dividido por él mismo y por 1. Estos se da en números naturales, los que no cumplen con esta regla, se conocen con el nombre de compuestos. De ejemplo de número primo tenemos al 2, 3, 5, 7, 11, entre otros. Para ejemplificar esta propiedad puedes dividir 735÷5 y 550÷5. Obtendrás, de manera respectiva, 147 y, por otro lado, 110. Ahora notarás que al realizar la descomposición de cada resultado, lo que se da es 1 en ambos. Con lo que se alcanza la determinación de que son primos.

Cuando una cifra puede dividir a otra, se dice que es el máximo común divisor de ambos. Lo que se enuncia se ve en lo siguiente:

  • Se sabe que 4 es un número divisor de 24. Entonces, si se hace el cálculo del MCD de lo que se obtendrá, debe ser 4, según esta propiedad.

¿Cómo se calcula el máximo común divisor?

Hay varias formas para calcular el máximo común divisor. Pero hay tres métodos que se distinguen por su uso general:

  • La descomposición de primos: Aquí son descompuestos los números primos en factores. Piensa en que quieres saber cuál es el máximo común divisor de 8 y 12.

Para ello debes factorizar: 

  • 8/2=4
  • 4/2=2
  • 2/2=1
  • 12/2=6
  • 6/2=3
  • 3/3=1
  • 8=2³
  • 12= 2²×3
  • 2²=4

En ese método, se toma en cuenta los factores que son comunes. En el ejemplo, el 2 es común. Sin embargo, se debe elegir el que posee un mejor exponente. Aquí fue el 2² que vendría siendo igual a 4.

También está la manera de sacar el máximo común divisor por el algoritmo de Euclides. Este es uno de los métodos más viejos para calcular el máximo común divisor. El autor fue un matemático de la antigua Grecia, este se conoce como el padre de la geometría y desarrolló una serie de pasos para hallar el máximo común divisor de dos cifras.

El algoritmo consiste en dividir el dígito mayor entre el menor. En el caso de que la división sea exacta, el divisor se asume como el MCD. En el hecho de que la operación sea inexacta, se continúa dividiendo el divisor entre el resto hasta que sea exacto. Ya el MCD será la última cantidad que fragmenta, ahora buscaremos el MCD de 138 y 42.

En primer lugar, se deben dividir las dos cifras, la mayor entre la menor.

  • 138÷42= 3,28

De forma seguida, se hace la multiplicación de 42 por la parte entera del fruto de la operación anterior.

  • 42×3=126

Luego, se procede a realizar la sustracción de 138 menos el final de la multiplicación 126.

  • 138-126=12

Posterior a esto se divide 42÷ 12=3,5, pero el que se obtiene sigue siendo no entero. Por lo que corresponde seguir en la búsqueda del MCD. Para ello, realizamos la multiplicación de 12 por la parte entera de la división anterior. 12×3=36

  • Sigue, restar 42 menos 36, de lo cual se obtiene 6.

Hacemos de nuevo la fracción, esta vez, 12÷6= 2. Aquí ya obtuvimos el MCD debido a qué el resultado fue entero, y es el último divisor, el  6.

Máximo común divisor de dos números

El máximo común divisor es aquel factor mayor que divide a un grupo de números. Podemos obtener el máximo común divisor de dos cifras o de más de dos cantidades, eso va a depender de los pasos a seguir para eso. En el caso del MCD de dos números se sabe que tanto a y b tienen un número mayor que los divide, veamos el siguiente ejemplo.

Se nos pide calcular el máximo común divisor de 12 y 18, como estamos buscando su máximo común divisor, los números no pueden ser mayores a 12. Entonces tenemos los siguientes: 1,2,3,6, ellos son los candidatos elegidos, ya que deben dividir a los dos dígitos. En tal caso, el máximo común divisor de estos, es el 6, porque es el mayor de todas las opciones.

Máximo común divisor de polinomios

Cuando nos referimos al máximo común divisor de dos polinomios, es necesario que sean otros polinomios. Este debe ser del grado más alto que se pueda, puesto que vendría siendo el factor de dos polinomios iniciales. Podemos comparar lo que significa el MCD de polinomios con el máximo común divisor de cifras enteras, es decir, es similar.

La forma más recomendable de hallar el MCD de los polinomios es a través de la factorización. Lo que se busca por este medio es encontrar el factor repetitivo entre los polinomios.

MCM de una fracción

El MCM es el número más pequeño que puede multiplicar de forma común a dos o más dígitos. Para entenderlo mejor, veamos los múltiplos 6 y 8, por ello vamos a multiplicar en el caso de 6 lo realizamos por 1, 2, 3,4 y así de forma sucesiva. De igual manera, se procede con el 8.

  • 2×1=2
  • 2×2=4
  • 2×3=6
  • 2×4=8

Estos serían los múltiplos de 2, los resultados de las distintas multiplicaciones. Ya veamos con 8.

  • 8×1=8
  • 8×2=16
  • 8×3=24
  • 8×4=32

Y así vemos de una apariencia sencilla los múltiplos de 8. 

Ahora bien, en el caso de las fracciones, el MCM, la forma de sacar el número más pequeño cambia algo. Recomiendan que lo primero que se debe hacer es identificar los denominadores. Luego, separarlos un poco y trazar una línea vertical a la derecha de cada uno. Lo que sigue, es seleccionar el número primo que viene después del 1 o sea el 2, con este vas a comenzar a dividir por denominador.

Si alguno no es divisible entre 2, realizas una pequeña línea horizontal y pasas al siguiente número primo. Eso se ejecuta hasta que sea divisible, pero si todos se pueden dividir entre 2, entonces haces la operación y escribes el fruto que obtuviste.

Observa si las columnas que te dieron como resultado 1, ya están listas. Debes seguir entonces por las que no fueron posible que se dividieran entre 2. Por ende, se pasa al siguiente número primo, que es el 3, si no funciona con el 3 se sucede al 5.

Ya cuando todas las columnas formadas por las líneas trazadas al principio tengan como resultado 1, se confirma que ya se terminó. Recuerda que la primera columna no cuenta, porque en ella se encuentran los números a usar para dividir a los iniciales.

El mínimo común múltiplo son los datos utilizados en la división, es decir, son las cifras que se encuentran en la columna que está de primera. Las fracciones a calcularles el mínimo común múltiplo:

  • 6/9 7/5 8/10 9/4

El máximo común múltiplo de 9,5,10,4 es 2²×3²×5 dicha operación daría como resultado 180.

Cuando los números tienen potencias, el MCD se calcula de la siguiente manera:

  • Se descompone cada número en factores primos y se identifican los factores comunes a ambos números.
  • Se toman los factores comunes con la menor potencia en cada número y se multiplican para obtener el MCD.

Por ejemplo, si queremos encontrar el MCD de 24 y 36, primero los descomponemos en factores primos:

  • 24 = 2^3 x 3^1 36 = 2^2 x 3^2

Los factores comunes a ambos números son 2 y 3. Tomamos los factores comunes con la menor potencia en cada número: 2^2 y 3^1. Entonces, el MCD de 24 y 36 es 2^2 x 3^1 = 12.

Ejemplos del máximo común divisor en matemáticas

A continuación, ejemplos sencillos sobre el máximo común divisor en matemáticas.

Calcular el MCD de 6, 12, 15

Empieza por dividir cada cifra por el primer número primo que le continúa al 1, es decir, el 2. Si es divisible usas el 2 de lo contrario pasas al número primo que le sigue, por ejemplo 3. Lo importante es encontrar la cifra que puede dividir los resultados hasta llegar al 1, ese debe ser el final, lo podemos ejemplificar así:

  • 6/2=3
  • 3/3= 1 la división del 6 la dejamos aquí.

Ahora pasamos al 12:

  • 12/2=6
  • 6/2=3
  • 3/3=1

Y por último el 15:

  • 15/3=5
  • 5/5=1

Por lo tanto, 6= 2×3 12=²×3 15=3×5 

Lo que significa que el MCD de 6, 12 y 15 es 3 porque es el divisor que se repite en los tres casos. En el ejemplo, el máximo común divisor de este conjunto de números es 3. Puesto que es la cifra mayor, se repite en la división usando el mínimo común múltiplo. Esta es una técnica muy práctica de utilidad al encontrar el MCD sin enredarte tanto.

Cómo citar:
"¿Qué es el máximo común divisor? - Propiedades y calculo del MCD". En Quees.com. Disponible en: https://quees.com/maximo-comun-divisor/. Consultado: 14-06-2024 18:22:31
Subir