¿Qué es un polinomio? - Elementos y tipos de polinomios en matemáticas

Toda ciencia que incluya las matemáticas requiere de un entendimiento de ciertos términos. Manejarnos bien con la teoría, nos permitirá entender cosas tan sencillas como los polinomios, o algo más complicado, una sucesión lineal. Sin importar cuál sea el tema, término, función y demás, es vital que conozcas todo lo referente a ello.

En esta oportunidad, nos dedicaremos a explicarte qué es una función polinomial, para qué se utilizan y cuántos tipos existen. Al finalizar, comprenderás la teoría que hay detrás de esta expresión matemática que resulta tan importante para el resto de ciencias que se manejan con números.

Definición de polinomio

Se trata de una forma de representar, de forma algebraica, una suma, resta, multiplicación o división. Para que se pueda utilizar el término de polinomio, es importante que cuente con sus elementos básicos que son: las variables, constantes y exponentes. Claro, el hecho de que exista una raíz cuadrada o de cualquier otro índice, una fracción y demás, no significa que no sea un polinomio. De hecho, lo sigue siendo, con la diferencia de que la forma en cómo se ha representado ha cambiado a una más compleja.

Por lo general, en álgebra de preparatoria y universitaria se suele utilizar tres letras para representar las variables: X, Y y Z. Sin embargo, esto no es obligatorio, pero si algo estandarizado que lo podrás ver en cualquier libro de matemáticas. Es importante mencionar que los polinomios son aquellos que están constituidos por uno o más términos en su ecuación. Es por ello que para aquellos que solo poseen dos términos, se dice binomio, a los que cuentan con tres, trinomios y más de esta cantidad, polinomio en general.

Antes de pasar al siguiente punto, debemos mencionar que, dentro de un polinomio, se puede hacer operaciones matemáticas sencillas, como la suma, multiplicación o resta. Además, también se puede emplear la factorización, reducción de variables, cambios de variables, entre otros más. Ahora bien, existen ciertos elementos que constituyen y son parte de cualquier polinomio. En breve te daremos más detalles al respecto.

¿Qué elementos conforman al polinomio?

Sin importar el tipo de polinomio que vayas a resolver, todos cuentan con los mismos elementos. Estos son solo 4 y se encuentra categorizados de la siguiente manera:

• Los términos

Estos son los elementos que se encuentran, por lo general, al lado derecho de la igualdad del polinomio. Por ende, pueden estar sumando, restando, multiplicando o dividiendo. Las operaciones matemáticas utilizadas vendrán dadas por la fórmula que se quiera utilizar al final. En caso de que se trate de un monomio, solo existe la posibilidad de que sea positivo o negativo. El hecho que solo se cuente con un único término, no significa que solo se limite a una única operación matemática.

• Coeficientes

Estos son solo números o constantes que están multiplicando a la variable utilizada en el polinomio. Es como utilizar el número 10X para expresar que tienes diez veces algo. El 10 representa el coeficiente y la X, la variable utilizada. Ambos se están multiplicando, pero es una operación que no se puede resolver, puesto que no son términos semejantes. Aquí debemos hacer una aclaratoria, puesto que los coeficientes no solo son números, también pueden ser símbolos o en su defecto, constantes representadas por otras letras.

Además, los coeficientes se pueden encontrar en el numerador, denominador, por sí solo en una adición o producto, dentro de una raíz o ser parte del exponente de un término. Las posibilidades son amplias y todo dependerá del ejercicio en cuestión, aunque se te dificultará un poco si no sabes qué son las matemáticas y cuál es la teoría fundamental

• Grado

Todo polinomio posee un grado, el cual dependerá directamente del término que posea el mayor exponente. Si dentro de un polinomio hay un término elevado al cuadrado y el resto no tienen ningún exponente, se dice que ese polinomio es de grado dos. Ahora bien, si mantenemos el mismo ejemplo, pero le agregamos un nuevo término elevado a la 5, entonces ese polinomio sería de grado 5. Es importante mencionar que esto solo aplica para los términos que contienen la variable a resolver. Si es un número el cual tiene una potencia, no se considerará como valor para indicar el grado del polinomio.

• Término independiente

Como último elemento, se encuentra el término independiente. Básicamente, se trata de un número el cual no acompaña a ninguna variable. Mejor dicho, es una constante, la cual puede estar representada con un número o una letra, siempre y cuando sea diferente a la variable. Dependiendo del ejercicio a resolver, el polinomio puede o no contar con un término independiente, así que no es algo indispensable, pero sí recomendable para quienes están aprendiendo sobre este tema.

De hecho, las veces que se suele utilizar este elemento, es para facilitar el proceso de sacar factor común en el polinomio. Esta operación se emplea para simplificar el ejercicio o bien, dar con una solución más efectiva. Aunque también se le considera como una opción para cuando se busca reducir un polinomio o ejercicio a su mínima expresión.

 ¿Qué tipos de polinomio existen?

Lo mencionamos en párrafos anteriores, pero ahora hacemos más énfasis en sus tipos. Como tal, existe un único tipo, sin embargo, para simplificar la explicación de este tema y que los estudiantes logren comprender mejor, se ha utilizado varios tipos según el caso.

Polinomio de un término

También conocido como monomio, son aquellos polinomios que solo están constituidos por un único término. Por lo general se tiende a pensar que solo por tratarse de un monomio, la resolución del mismo ya está hecha. Sin embargo, dependiendo de cómo sea y las operaciones que haya por hacer, se puede simplificar, aunque se trate de un único término. Es por eso que, con solo un único término, se puede utilizar raíces, exponenciales, y coeficientes constantes para complicar el ejercicio. Así que no hay que confiarse.

Polinomio de dos términos o Binomio

Otro de los tipos de polinomios que hay son los que están compuestos por dos términos. Estos se les conocen como binomios y son la base fundamental para ecuaciones estándares. Gracias a los binomios, es posible hacer sustituciones en ecuaciones más complejas, siempre y cuando estás cumplan ciertas condiciones que solo aplican a este tipo de polinomios.

Ecuaciones como la suma o resta de un binomio al cuadrado se aplica en matemáticas en general, así como en álgebra e incluso, en trigonometría. El desarrollo de las mismas puede suponer una forma fácil de reducir un polinomio y conseguir el valor de la X en un ejercicio matemático. En este caso, en comparación con el anterior, supone un aumento en la probabilidad de operaciones matemáticas.

De hecho, de dos términos en un polinomio puede resultar en varios más o en la unificación del mismo, a tal punto de tener una expresión elevada al cuadrado. Aunque esto último aplicará en situaciones donde se aplica la teoría del binomio cuadrado perfecto.

Polinomio de tres términos o Trinomio

Así como en el binomio, en los trinomios también existe una teoría que resulta fundamental para cualquier problema matemático que posea tres términos con variables. A esto se le conoce como trinomio cuadrado perfecto y como tal, tiene una fórmula que se puede utilizar para simplificar o factorizar un polinomio de tres términos. El trinomio cuadrado perfecto se puede utilizar hasta en problemas que contengan derivadas, integrales y temas más complejos dados en universidades.

Ahora bien, lo que mencionamos es solo una parte de los trinomios, por lo que no es necesario que sean perfectos para resolverlos. Cuentan con tres términos, los cuales pueden ser todos términos con variables o dos con variables y el término independiente. Aquí se pueden incluir todas las operaciones posibles, de manera que puede haber multiplicación combinada, división de polinomios, sumas de términos semejantes, factorización en el numerador, denominador o en ambos… Las posibilidades son bastante amplias, además de que la complejidad puede aumentar.

¿Cómo se determina el grado de un polinomio?

Veamos al polinomio como una ecuación más. Del lado izquierdo de la igualdad tenemos una función, del lado derecho tenemos los términos, las variables y demás elementos. Para conocer cuál es el grado de esa ecuación o polinomio, tenemos que ubicar aquellos términos que posean un exponente. Quienes no lo tengan, se considera que hay un uno imaginario. Luego que hayas hecho la identificación, verás cuál es el número mayor de todos esos exponentes. Este será el grado del polinomio.

Ahora bien, ten en cuenta que habrá ocasiones donde tendrás un exponente en un número entero, en números negativos e incluso, dentro de raíces cuadradas o en forma fraccionada. Tu tarea en este tipo de casos tan complejos, es hacer una comparación más una resolución simple de los mismos.

Es decir, supongamos que tienes un exponente 4, 7, 3 y 10/5. Si pensabas que el exponente era diez por ser el número “mayor”, te has equivocado. De hecho, la fracción es el número menor de todos los mostrados, ya que, si haces la división, el resultado será dos. Por lo que el grado mayor en este caso sería 7. Así pues, el grado de este polinomio ficticio que te hemos mostrado sería de 7°mo grado.

¿Cuáles son las propiedades de un polinomio?

En cuanto a las propiedades, podemos decir que se puede aplicar la factorización, el binomio o trinomio cuadrado perfecto, la suma o diferencia de binomios. De hecho, propiedades como la asociativa, conmutativa y distributiva son aspectos que se aplican muchísimo y que, sin estos, sería imposible resolver un polinomio sin importar el grado en el que esté.

Además, se puede realizar el producto o multiplicación de dos polinomios enteros, sumar o restar dos términos y así. Ten en cuenta que hemos dicho multiplicación de polinomios y no de términos. Por ende, son cosas distintas, pero al mismo tiempo, relacionadas entre sí. De hecho, para estas propiedades y operaciones matemáticas, puede haber un único término o monomio multiplicando o dividiendo todo un polinomio. Lo que variará y hará más difícil todo, será el grado en el que se esté trabajando.

¿Cómo se realiza una suma de polinomios?

Cuando se trata de una adición de polinomios, lo que esto se refiere es la suma de los términos que componen a cada polinomio. Es decir, supongamos que tenemos los dos siguientes polinomios:

• P(X) = 5X^4 + 7X^3 – 10X +X^2
• T(X)= -10X^3 -8X^4 + 11X

En todo problema matemático te darán 2 o más polinomios, además, te indicarán qué operación hacer. En este caso, tienes que sumar P(X) + T(X). Lo recomendable es ordenar los términos en orden descendente, teniendo en cuenta el grado de cada polinomio. Luego que hagas esto, solo queda sumar todos los términos semejantes respetando siempre los signos de cada uno. Por ejemplo, en la cima del término de grado uno, el resultado es X y no –X. Lo mismo aplica para el resto de términos a sumar.