¿Qué es la propiedad asociativa? - Características de la propiedad asociativa

En matemáticas y álgebra lineal se aplican muchísimas propiedades y teoremas que ayudan significativamente a la resolución y simplificación de un problema matemático. En etapas iniciales, nos enseñan algunas de las propiedades más sencillas. Entre estas encontramos la propiedad conmutativa, distributiva y asociativa. Pues bien, el día de hoy nos enfocaremos en la última, puesto que tienen una gran relevancia al momento de solucionar un problema de suma algebraica.

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Así que hoy tendrás la oportunidad de poder conocer todos los aspectos más fundamentales e importantes de esta propiedad. Notarás que te puede servir tanto en el campo de las matemáticas, como en otros campos científicos, como la física y la química. Además, que aplica para cualquier tipo de término dentro de una ecuación o polinomio, desde números enteros, hasta términos con variables dependientes e independientes.

Concepto y definición de la propiedad asociativa

Si partimos del término asociativa, esta es una variante de la palabra asociación, lo cual indica asociar un elemento con otros siempre y cuando cuenten con las mismas características. Por ejemplo, si tienes varias canastas de frutas, por asociación, lo que haces es juntar aquellas frutas que sean iguales en un lugar a fin de clasificarlas y tener un orden.

Con esta definición y ejemplo, podemos definir la propiedad asociativa como el procedimiento que alguien hace con el fin de agrupar términos semejantes. Ahora bien, esto es algo que se encuentra ligado a todas las operaciones matemáticas, sea que estés ante una suma, resta, multiplicación o división. Claro, que la propiedad asociativa se vuelve más complicada cuando la ecuación tiene muchísimos términos y con términos complejos de manipular. Ahora bien, es posible que los profesores te comenten que esta propiedad está ligada a la suma y la multiplicación, pero con ejemplos prácticos, notarás que no siempre es el caso.

La forma más sencilla y básica de aplicar dicha propiedad, es ante una suma algebraica. Es decir, en donde hay términos que están sumando y restando en un mismo polinomio o ecuación. Lo que se hace es agrupar dentro de un paréntesis aquellos términos con signo positivo, y, en otro paréntesis, los términos con signo negativo.

Ahora bien, esta propiedad nos permite mover la posición de los números y los términos de tal forma, que no exista una desigualdad y que la resolución del problema, no se vea afectada. Claro, esto siempre y cuando se respeten los signos correspondientes. Por ello, hay que tener mucho cuidado cuando hay signos negativos, puesto que cambiar este término de posición, hay que hacerlo tomando en cuenta dicho signo de operación.

¿Para qué sirve la propiedad asociativa?

En primera instancia, la propiedad asociativa permite facilitar la resolución de cualquier problema matemático. Es decir, que, a través de esta, lo que puedes hacer es una agrupación, de tal manera, que tengas todo ordenado y vayas resolviendo la ecuación paso a paso sin que te confundas con los términos, las variables y los signos de operación.

Hay que tener en cuenta que esta propiedad es, de cierta manera, la base de otras más, puesto que luego de haber hecho la asociación de términos, se puede emplear la propiedad distributiva o conmutativa. Por ejemplo, en el primer caso, luego de hacer la agrupación, puedes ir distribuyendo la multiplicación o división entre los términos fuera del paréntesis y los que están dentro del mismo.

Ahora bien, haciendo un resumen más preciso y detallado de esta propiedad, podemos decir lo siguiente:

• Permite la agrupación de términos y elementos.
• Se puede cambiar la posición de los términos dentro de una ecuación o polinomio.
• Facilita el poder aplicar propiedades matemáticas y teoremas fundamentales del cálculo.
• Es posible aplicar la propiedad distributiva, bien sea con los signos operativos, o con otros términos.
• Se puede aplicar tanto en operaciones de suma, resta y la multiplicación.

Es importante tener mucho cuidado cuando se trata de aplicar esta propiedad a una resta. Si no se hace la asociación correcta, esto puede conllevar a que el resultado final no sea el correcto. Por ejemplo, imagina que tenemos el siguiente problema matemático: 10 – 5 +1 – 5. Gracias a la propiedad asociativa podemos reescribir esto de la siguiente manera: (10 + 1) + (-5 -5). Aunque también se puede escribir de esta forma: (10 + 1) - (+5 +5).

Sea cual sea la forma que elijas, será la correcta. En caso de que te preguntes cómo es posible, todo se debe al uso de los signos de operación que se emplee, así como la propiedad distributiva que se ejecuta una vez se haya resuelto el problema. Tanto en el primero, como en el segundo caso, el signo central multiplica a todo lo que está dentro del segundo paréntesis. Ten en cuenta que si quieres sacar factor común el signo negativo, todos los elementos que están dentro del paréntesis negativo pasa a ser suma. La equivalencia se mantiene gracias a que al final, harás una multiplicación de signos o, dicho de otra manera, aplicarás la propiedad distributiva del signo menos.

¿Cuáles son las ventajas y desventajas de usar la propiedad asociativa?

En cuanto a las ventajas de esta propiedad, podemos mencionar las siguientes:

• Facilita el poder resolver paso a paso y por partes las operaciones dentro de una ecuación.
• Ayuda a facilitar la agrupación de términos.
• Permite tener un mayor orden.
• Le da la opción a la persona o estudiante la capacidad de aplicar, con mayor precisión, la propiedad conmutativa en caso de estar en una multiplicación.
• También permite la implementación de la propiedad distributiva una vez se hayan resuelto las operaciones matemáticas.
• Ayuda a identificar cuáles son los términos semejantes y los términos independientes.
• Se puede aplicar tanto para números enteros, naturales, racionales e irracionales.
• La base de esta propiedad puede ser llevada a cabo al campo de los números complejos.

Con todo lo mencionado, ¿Será que la propiedad asociativa presenta alguna desventaja? La realidad es que no. Simplemente, se trata de una forma de facilitar el trabajo resolutivo, ya sea en matemáticas, álgebra lineal, química y física. Lo único que pudiera considerarse como una desventaja, es que no siempre se puede aplicar, puesto que es necesario que existan más de dos términos. Es decir, que si tienes una ecuación o un polinomio de un solo término. Por lo tanto, tiene que existir más de dos elementos para poder implementar esta propiedad y el concepto que hay detrás del mismo.

¿Cuáles son las características de la propiedad asociativa?

La primera característica es que permite poder asociar dos o más elementos o términos que cuentan con una misma estructura o forma. Por ejemplo, si tienes la siguiente expresión algebraica: 2x + 7y +5z -8y -x. Lo que podemos hacer con esto al aplicar la propiedad asociativa es lo siguiente: (2x – x) + (7y – 8y) + 5z.

Lo que sucede con este simple ejemplo, es que hemos agrupado todo, de tal manera, que ahora el problema matemático tiene una forma de resolverlo más fácil. Si te fijas, el último término ha quedado sin paréntesis. Al no tener otro elemento con el cual emparejarlo, no hace falta meterlo dentro de este recurso, sino que se deja así. Ahora bien, en cuanto a la operación dentro del primer paréntesis, encontramos que el resultado es positivo. Para el segundo, lo resultante queda negativo y el tercero, no hay cambio alguno. Por ende, el resultado final queda de la siguiente manera: x - y + 5z.

Otra de las características de esta propiedad, es que luego de haber hecho el proceso correspondiente, se puede implementar otras propiedades como la distributiva en caso de que haya términos sumando o restando. También se puede emplear la propiedad conmutativa para situaciones donde exista una multiplicación. Podemos decir que el orden de los factores, a nivel matemático, no altera el producto, siempre y cuando se respeten los signos operativos.

Diferencia entre la propiedad asociativa y conmutativa

La principal diferencia es que, a través de la propiedad asociativa, lo que haces es agrupar términos que son similares y que están sumando o restando. No importa que se trata de un número entero, real o fraccionario, puedes agruparlos dentro de paréntesis respetando los signos correspondientes. Sin embargo, en el caso de la conmutativa, lo que se hace es cambiar la posición de los elementos en una multiplicación. Por ejemplo:

• Si tomamos como ejemplo la expresión 2x +4y -11x -11 +4y +15, la aplicación de la propiedad asociativa sería de la siguiente manera: (2x -11x) + (4y - 4y) + (15 – 11).
• De todos los ejemplos de la propiedad conmutativa, el más sería si tenemos la siguiente expresión: X20Y + XZ11. Aplicando la propiedad, podríamos escribirlo de la siguiente forma: 20XY + 11XZ.

¿Qué relación hay entre la propiedad asociativa y distributiva?

La relación más directa que existe entre estas dos propiedades, es que la primera de cierta manera le da paso a la aplicación de la segunda. Es decir, primero aplicas un procedimiento asociativo y luego implementar la propiedad distributiva. Claro, esto siempre y cuando existan términos y elementos que están multiplicando a números y variables dentro de un paréntesis. Por ejemplo, si tenemos 4(2x -11x) + (4y - 4y) + 10(15 – 11), lo que queda es resolver la multiplicación en los términos que están fuera de los paréntesis. De cierta manera, es una forma de simplificar un resultado. Matemático.

Ejemplos de la propiedad asociativa en matemáticas

A través de todo el artículo hemos ido dando algunos ejemplos en donde puedes ver y entender de qué se trata esta propiedad. De cualquier forma, puedes considerar los siguientes ejemplos:

• 1 + 23x + 623 – 10x +1 – 85x
• 80cm + 40m – 25m
• 4y – 3x – 50y