¿Qué es el Teorema de Bayes en matemáticas? - Elementos del Teorema de Bayes

Qué es el Teorema de Bayes

Quizá las matemáticas no son tan amigables para todos, pero sin duda son de gran ayuda para resolver 'problemas'. Estos asuntos cumplen con la función de incentivar el pensamiento lógico y abstracto.

Una de las áreas de gran importancia en las matemáticas son las estadísticas, las cuales permiten el análisis de datos por medio de la obtención y organización de los mismos. Sin embargo, dentro de esta encontramos diversos métodos, estos se usan en la realización del estudio matemático y estadístico. A continuación te contamos todo sobre uno de los más conocidos, el Teorema de Bayes.

Índice()
  1. Definición de Teorema de Bayes
  2. ¿Para qué sirve el Teorema de Bayes en probabilidad?
  3. ¿Qué características tiene el Teorema de Bayes?
  4. ¿Qué ventajas tiene el Teorema de Bayes?
  5. ¿Cuáles son los elementos del Teorema de Bayes?
  6. ¿Cuál es la fórmula del Teorema de Bayes?
  7. Ejemplos del Teorema de Bayes

Definición de Teorema de Bayes

El teorema de Bayes se utiliza en matemáticas y estadística, con él se pretende calcular la probabilidad de un acontecimiento. Es importante que, al llevar a cabo este proceso, se tenga información previa sobre el evento. Por ejemplo, en la meteorología, se pueden utilizar modelos basados en el teorema de Bayes para predecir los fenómenos atmosféricos en función de la información meteorológica disponible.

Es decir, que puedes comprobar la probabilidad de un suceso C, siempre y cuando exista una característica que circunscribe la probabilidad. Estaríamos hablando entonces de probabilidad condicional. Aquí el evento C se condiciona del hecho D. C es dependiente a D. Este teorema se empleó por el matemático Thomas Bayes, de ahí el nombre de Teorema de Bayes.

¿Para qué sirve el Teorema de Bayes en probabilidad?

La probabilidad es un cálculo que se realiza en matemáticas que obedece al establecimiento de las posibilidades existentes. Estas se encuentran alrededor de un evento determinado. En este caso es importante destacar el tipo de probabilidad condicional, la cual se refiere a un hecho, está sujeto al anterior. Lo que significa, que para que ocurra determinado asunto, debe estar en la realidad otro suceso con antelación.

Es decir, aquí un acontecimiento nuevo depende del que ya pasó, lo que nos lleva a pensar que en este teorema se estudia una cantidad importante de información, puesto que hay que analizar todos los datos que rodean al hecho anterior. Por esto, en cuanto a los usos del teorema de Bayes, podemos destacar los siguientes:

  • Las finanzas: En este caso destacamos su uso a la hora de ejecutar una inversión financiera. En ella se deben profundizar todos los contextos y hacer el estudio riguroso de los acontecimientos que ya ocurrieron.
  • Publicidad: También en la publicidad de una empresa es posible aplicar el teorema de Bayes, ya que es ideal para el análisis.

¿Qué características tiene el Teorema de Bayes?

Es parte de la teoría de la probabilidad tratamos al teorema como una proposición, lo que expresa es una probabilidad condicional. Cuando se habla de condicional hace referencia a que el evento debe presentar unas condiciones. En el teorema de Bayes, un caso A está en dependencia, por lo que ocurrió con un suceso B. Entonces diríamos que A se encuentra sujeto a B.

Es parte de las matemáticas y la estadística y tiene múltiples aplicaciones que varían desde las financieras, a la publicidad de una empresa hasta llegar a la medicina. En especial en la genética, en la cual es posible, por medio del teorema de Bayes, predecir el genotipo de una persona.

¿Qué ventajas tiene el Teorema de Bayes?

El teorema de Bayes presenta diversas ventajas entre las cuales te podemos mencionar:

  • Si se aplica de la forma apropiada, las ganancias de una empresa pueden ir en aumento. Puesto que, su correcta implementación da la posibilidad de detectar buenas estrategias. Las cuales darán grandes oportunidades de éxitos.
  • Los datos pueden ser analizados de manera constante. Sin embargo, si hablamos de muchos elementos es necesario emplear métodos y estrategias en su organización.
  • Es factible a gran cantidad de información y muy diversa.

No obstante, el Teorema de Bayes ha recibido algunos juicios en su aplicación, esto se debe a las siguientes debilidades:

  • Se ve a la fórmula un tanto limitante, por consistir en eso se critica. Por otra parte, se considera que su aplicación solo es posible a eventos algo extenuantes y a su que no estuviesen juntos. Lo cual también es motivo de juicio por los detractores.
  • Por otra parte, los profesionales de la estadística dudan de la exactitud del teorema de Bayes. Pues el teorema de Bayes no funciona con éxito en todas las estadísticas. En las únicas en las que su uso es conveniente es en hechos repetibles. Pero en aquellas que no cuentan con esta característica la cuestión cambia, puesto que su resultado no es correcto.

¿Cuáles son los elementos del Teorema de Bayes?

Los elementos son condicionales, pero pueden ser inexactos. Por ello, hablamos de evento a la suerte:

  • A es dependiente de un acontecimiento al azar B.
  • A se condiciona a B.

Eso es lo que permite predecir los hechos.

¿Cuál es la fórmula del Teorema de Bayes?

Para calcular la probabilidad de un evento hay que tener con antesala los datos sobre el mencionado evento, esto es fundamental en el Teorema de Bayes. Si nos referimos a los elementos de este teorema estadístico, lo principal son los dos sucesos a analizar. Puesto que las evidencias del evento de estudio son dadas de otro evento que condiciona la probabilidad.

Si deseamos hacer el cálculo con este método es necesario seguir la fórmula de Bayes: 

  • P [A/ B] = P [B/A] • P [A] / P [B]
  • A y B son los acontecimientos de estudio.
  • P [A/B] se refiere a la probabilidad de A dado B.
  • P [B/A] significa la probabilidad de B dado A.
  • P [A] P [B] cuando las probabilidades son independientes una de la otra.

B es el acontecimiento que ya de antemano conocemos, A son el grupo de las potenciales de causas que pueden producir el hecho de estudio. P [A/B] avala los sucesos posibles a posteriori P [A] Y P [B/A] señala las posibilidades de que el asunto B sea realidad en cada evidencia de A.

Ejemplos del Teorema de Bayes

Una empresa de fabricación de vestidos se concentra en confeccionar tres tipos de atuendos femeninos según sus tonos. Los trajes de chicas con figuras en su diseño textil (A), los vestuarios de colores claros (B) y los de tonalidad negra (C). En el total de producción se confeccionan un 10 % de vestimenta de tela estampada, un 30 % de tonos blancos y un 60 % de oscuro.

Se conoce que un 3 % de A en su resultado final presenta errores. Un 2 % del total de B está defectuoso y un 5% de C. Con esto podemos plantear lo siguiente:

  • P(A)= 0,1 P(D/A)= 0,03
  • P(B)= 0.3 P (D/B)= 0,02
  • P(C)= 0.6 P(D/C) = 0,05

La primera interrogante a evaluar es la siguiente, si un vestido se realiza por la fábrica de confección ¿cuál es la probabilidad de que tenga un error? Para eso calculamos algo que se conoce como probabilidad total.

  • P(D) =[ P(A) x P(D/A)] + [P(B) x P(D/B)] + [P(C) x P(D/C)] = [0,1 x 0,03] + [0,3 x 0,02] + [0,6 x 0,05] = 0.039

Lo que significa que, en términos de porcentaje, hay un 3.9% de probabilidad total. Ahora bien, lo que sigue a esto es saber qué ropa es la que saldrá con más defectos. Para ellos se hace uso del Teorema de Bayes.

  • P(A/D) = [P(A) x P(D/A)] / P(D) = [0,20 x 0,03] / 0,039 = 0,15
  • P(B/D) = [P(B) x P(D/B)] / P(D) = [0,30 x 0,02] / 0,039 = 0,15
  • P(C/D) = [P(C) x P(D/C)] / P(D) = [0,60 x 0,05] / 0,039 = 0,77

Con lo visto ya conocemos que de los vestidos estampados hay una probabilidad de 15% defectuosos. De los tonos claros un 15% y de los oscuros un 77% de probabilidad.

  • Otro ejemplo:

Tenemos tres hornos en una panadería A, B y C. En los cuales se hornean 45 %, 30% y 25% de la producción total de panes, pero los panes que no están idóneos para la venta varían en porcentajes. 3 %,4 %, y 5% con referencia a cada horno. Tomamos varios panes al azar y vamos a calcular la probabilidad de que no estén listos para la venta.

  • P(A)= 0.45 P(D/A)=0.03
  • P(B)= 0.3 P(D/B)= 0.04
  • P(C)= 0.25 P(D/C)= 0.05.

En primer lugar, debemos hacer el cálculo de la probabilidad total. Puesto que queremos saber la probabilidad de error en los panes horneados.

  • P(D) =[P(A) x P(D/A)] + [P(B) x P(D/B)] + [P(C) x P(D/C)] = [0,45 x 0,03] + [0,3 x 0,04] + [0,25 x 0,05] = 0.038.

La probabilidad total de este caso es de 3%. Luego viene la aplicación del Teorema de Bayes de forma completa.

  • P(A/D) = [P(A) x P(D/A)] / P(D) = [0,45 x 0,03] / 0,038 = 0,35
  • P(B/D) = [P(B) x P(D/B)] / P(D) = [0,30 x 0,04] / 0,038 = 0,32
  • P(C/D) = [P(C) x P(D/C)] / P(D) = [0,25 x 0,05] / 0,038 = 0,33

Al final del uso del teorema de Bayes sabemos los porcentajes de los panes no ideales para la venta. Estos en relación con cada horno, en A existe una probabilidad de 35 %, en el B de 32 % y en el C 33 %.

El teorema de Bayes es especialmente útil para analizar y predecir algún fenómeno incierto. Ya que permite actualizar las probabilidades de un evento en función de la información nueva que se recibe. En la economía, el teorema de Bayes se utiliza para analizar la incertidumbre y la toma de decisiones en situaciones donde se dispone de información limitada.

Cómo citar:
"¿Qué es el Teorema de Bayes en matemáticas? - Elementos del Teorema de Bayes". En Quees.com. Disponible en: https://quees.com/teorema-bayes/. Consultado: 15-04-2024 08:26:11
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