¿Qué es una derivada? - Qué es y tipos de derivadas en cálculo diferencial

Una de las definiciones con más importancia en el mundo de las matemáticas de la cual todos deberíamos tener algo de conocimientos, es la derivada. La podemos ver como tablones de escalones que se desplazan. Cuando estos van avanzando forman un ángulo en los peldaños que se reduce. Así que quédate leyendo para ampliar tus conocimientos en este tema.

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Definición de derivada en matemáticas o cálculo

En matemáticas y cálculo, la derivada es una herramienta que nos ayuda a entender cómo cambia una función en un punto dado. En otras palabras, nos muestra la rapidez con la que la función está cambiando en ese punto. Por ejemplo, si tenemos una función que representa la posición de un objeto en función del tiempo, la derivada de esta función nos daría la velocidad del objeto en un momento dado.

Una función es continua si no tiene discontinuidades o 'huecos' en su gráfica, lo que significa que los valores de la función se acercan suavemente y sin interrupciones a medida que la variable independiente se acerca a ciertos valores. Una función se considera discontinua en un punto si no es continua en ese punto. Esto significa que no se cumplen alguna de las dos condiciones que definen la continuidad en ese punto.

La fórmula para calcular la derivada puede parecer complicada al principio, pero en realidad es bastante sencilla. Se trata de calcular la tasa de cambio de la función en un punto específico, dividiendo el cambio en la función entre el cambio en la variable independiente (por ejemplo, el tiempo, si estamos hablando de la posición de un objeto en función del tiempo). Cuando hacemos que el cambio en la variable independiente se acerque a cero, obtenemos la derivada en ese punto específico.

La notación frac se utiliza en las derivadas para representar una fracción que expresa el cambio en la variable dependiente dividido por el cambio en la variable independiente, lo cual es esencial para el cálculo de la derivada de una función.

La definición de derivada se puede extender a funciones con más de una variable. En este caso, existen varias formas de definir la derivada, entre ellas se encuentran:

• La derivada parcial: que es una generalización de la derivada para funciones con más de una variable. La derivada parcial se calcula manteniendo todas las variables excepto una constante y calculando la derivada de la función respecto a esa variable. Esto nos da una medida de cómo cambia la función en la dirección de esa variable específica.
• La diferencial: que es una aproximación lineal de la función en un punto específico. La diferencial se calcula utilizando las derivadas parciales de la función y el vector gradiente. Esto nos da una medida de cómo cambia la función cuando las variables cambian en una pequeña cantidad alrededor de un punto específico.
• La derivada direccional: que es una generalización de la derivada para funciones con más de una variable en una dirección específica. La derivada direccional se calcula utilizando el vector gradiente y un vector de dirección específico. Esto nos da una medida de cómo cambia la función en la dirección del vector específico.

Las derivadas parciales, diferenciales y direccionales son herramientas útiles en el cálculo multivariable, ya que nos permiten entender cómo cambian las funciones en varias direcciones y cómo esto afecta su comportamiento global.

¿Qué es una derivada constante?

Una derivada constante es una derivada que tiene el mismo valor constante en todo el dominio de la función. Esto significa que para cualquier valor de la variable independiente, la tasa de cambio de la función en ese punto es la misma. En otras palabras, la función no está cambiando de manera significativa en ninguna dirección en particular.

Por ejemplo, si tenemos la función f(x) = 2x + 5, la derivada de esta función es 2, que es una constante. Esto significa que la tasa de cambio de la función es constante en todo su dominio, y la función está aumentando a una tasa constante de 2 unidades por cada unidad de cambio en la variable independiente.

Las funciones con una derivada constante son importantes porque nos permiten entender cómo cambian las funciones de manera uniforme en todo su dominio. Estas funciones a menudo tienen aplicaciones en la física y la ingeniería, donde es común que las tasas de cambio sean constantes en ciertas situaciones. Por ejemplo, la velocidad constante de un objeto en movimiento se puede modelar con una función con una derivada constante.

¿Qué es una derivada implícita?

Una derivada implícita es una técnica utilizada en cálculo para encontrar la derivada de una función implícita que no se puede expresar de manera explícita en términos de la variable independiente. En otras palabras, una función implícita es aquella en la que la variable dependiente no se puede despejar fácilmente.

Por ejemplo, la ecuación de un círculo se puede expresar como x^2 + y^2 = r^2, donde x e y son las coordenadas del punto en el plano cartesiano y r es el radio del círculo. Si queremos encontrar la derivada de y con respecto a x, podemos utilizar la técnica de derivada implícita.

Para hacer esto, diferenciamos ambos lados de la ecuación con respecto a x, utilizando la regla de la cadena. La derivada de x^2 con respecto a x es 2x, la derivada de y^2 con respecto a x es 2y(dy/dx) y la derivada de r^2 con respecto a x es 0, ya que r es una constante. Por lo tanto, la derivada de la ecuación original con respecto a x es:

• 2x + 2y(dy/dx) = 0

Podemos despejar dy/dx para obtener la derivada implícita de y con respecto a x:

• dy/dx = -x/y

Este resultado nos da la tasa de cambio de y con respecto a x para cualquier punto en la circunferencia del círculo.

¿Para qué sirve una derivada?

Algunas de las aplicaciones más comunes de la derivada son:

• Determinar tasas de cambio instantáneas: la derivada representa la tasa de cambio instantánea de una función en un punto dado. Por lo tanto, se utiliza para determinar la velocidad, aceleración, tasa de crecimiento, tasa de disminución, etc. de una función en un punto específico.
• Encontrar máximos y mínimos: la derivada se utiliza para encontrar los máximos y mínimos de una función. Los puntos críticos de una función (donde la derivada es cero o no existe) pueden ser puntos de máximos o mínimos locales o puntos de inflexión. Estos puntos son importantes para entender el comportamiento de la función.
• Modelado de fenómenos naturales: la derivada se utiliza para modelar fenómenos naturales, como el movimiento de los cuerpos, la tasa de cambio de poblaciones, la tasa de cambio de reacciones químicas, etc. Estos modelos son útiles para predecir el comportamiento de sistemas naturales.
• Optimización de funciones: la derivada se utiliza para optimizar funciones, es decir, encontrar el valor máximo o mínimo de una función. Esto es importante en la optimización de diseños, la planificación de recursos, la gestión de inventarios, etc.
• Análisis de gráficos y curvas: la derivada se utiliza para analizar la forma de las curvas y gráficos de funciones. Por ejemplo, la segunda derivada de una función nos da información sobre la curvatura de la función y nos permite determinar si un punto es un máximo o mínimo local o un punto de inflexión.

¿Qué tipos de derivadas existen?

Existen varios tipos de derivadas, cada una con sus propias características y aplicaciones. Algunos de los tipos más comunes son:

• Derivada ordinaria.
• Derivada parcial.
• Derivada direccional.
• Derivada implícita.
• Derivada de orden superior.
• Derivada logarítmica.

Derivada de la parábola

La parábola es una curva que tiene una ecuación cuadrática, es decir, una ecuación de la forma y = ax^2 + bx + c, donde a, b y c son constantes. Para encontrar la derivada de una parábola, debemos tomar la derivada de su ecuación con respecto a la variable independiente (generalmente x). Por lo tanto, la derivada de una parábola es:

• y' = 2ax + b

Donde y' representa la derivada de y con respecto a x. En otras palabras, la derivada de una parábola es una función lineal de la forma y = mx + b, donde m es la pendiente de la tangente a la parábola en un punto dado, y b es la intersección con el eje y.

Función derivada de la cúbica

La función cúbica tiene la forma f(x) = x^3, donde x es la variable independiente y f(x) es la variable dependiente. Para encontrar la función derivada de la cúbica, debemos tomar la derivada de f(x) con respecto a x. Por lo tanto:

• f'(x) = 3x^2

La función derivada de la cúbica es una función cuadrática de la forma f'(x) = ax^2, donde a es una constante positiva. Esto significa que la pendiente de la curva de la función cúbica aumenta constantemente a medida que nos alejamos del origen. Además, la función derivada de la cúbica tiene un punto mínimo en x = 0, lo que significa que la tasa de cambio de la función cúbica es cero en ese punto.

Función primera derivada y segunda derivada

La primera derivada de una función es la derivada de la función original con respecto a su variable independiente. Se denota comúnmente como:

• f'(x) y se lee 'f prima de x'.

La primera derivada nos proporciona información sobre la pendiente de la curva de la función en un punto dado y nos indica si la función está aumentando o disminuyendo en ese punto. Además, los puntos críticos de la función (donde la primera derivada es cero o no existe) corresponden a máximos o mínimos locales, lo que nos permite encontrar los máximos y mínimos de la función.

La segunda derivada de una función es la derivada de su primera derivada con respecto a la misma variable independiente. Se denota como:

• f''(x) y se lee 'f doble prima de x'.

La segunda derivada nos proporciona información sobre la concavidad de la curva de la función en un punto dado. Si la segunda derivada es positiva en un punto, la función es cóncava hacia arriba en ese punto, lo que significa que la función está curvando hacia arriba.

Si la segunda derivada es negativa en un punto, la función es cóncava hacia abajo en ese punto, lo que significa que la función está curvando hacia abajo. Los puntos de inflexión de la función (donde la concavidad cambia) corresponden a los ceros de la segunda derivada.

¿Cuáles son las propiedades de una derivada?

Las propiedades de una derivada son las siguientes:

• Regla de la suma: La derivada de la suma de dos funciones es igual a la suma de las derivadas de las dos funciones.
• Regla de la constante: La derivada de una constante es igual a cero.
• Regla del producto: La derivada del producto de dos funciones es igual a la primera función multiplicada por la derivada de la segunda función más la segunda función multiplicada por la derivada de la primera función.
• Regla del cociente: La derivada del cociente de dos funciones es igual a la resta de la segunda función multiplicada por la derivada de la primera función, menos la primera función multiplicada por la derivada de la segunda función, todo esto dividido por el cuadrado de la segunda función.
• Regla de la cadena: La derivada de una función compuesta es igual a la derivada de la función externa evaluada en la función interna multiplicada por la derivada de la función interna.
• Regla de la derivada de la función inversa: La derivada de la función inversa es igual a la inversa de la derivada de la función original evaluada en la función inversa.

Estas propiedades son fundamentales para simplificar la derivación de funciones más complicadas y para resolver problemas de optimización, entre otros. Es importante tener en cuenta que estas propiedades solo se aplican a funciones que son derivables en su dominio.

Ejemplos del límite de una función

Aquí te presento algunos ejemplos del cálculo del límite de una función:

• Ejemplo de límite finito: Calculemos el límite de la función f(x) = (x^2 - 4)/(x - 2) cuando x se aproxima a 2.

Si tratamos de evaluar f(2), obtendremos una indeterminación 0/0. En este caso, podemos factorizar el numerador y simplificar, de la siguiente manera:

f(x) = (x^2 - 4)/(x - 2) = (x + 2)(x - 2)/(x - 2) = x + 2

Luego, podemos evaluar el límite cuando x se aproxima a 2, y obtenemos:

lim x->2 f(x) = lim x->2 (x + 2) = 4

Por lo tanto, el límite de f(x) cuando x se aproxima a 2 es 4.

• Ejemplo de límite infinito: Calculemos el límite de la función g(x) = 1/(x-3) cuando x se aproxima a 3.

Si evaluamos g(3), obtenemos una división por cero, lo que indica una discontinuidad en el punto x = 3. En este caso, podemos observar que cuando x se acerca a 3 por la izquierda (valores menores a 3), la función se acerca a infinito negativo, y cuando x se acerca a 3 por la derecha (valores mayores a 3), la función se acerca a infinito positivo. Por lo tanto, podemos decir que el límite de g(x) cuando x se aproxima a 3 es infinito, pero no está definido.

Estos son solo algunos ejemplos, existen distintos tipos de límites y situaciones que pueden presentarse al momento de calcularlos.